Feladatok
1. Vegyük a sin: X --> Y függvényt,
ahol Df jelöli a függvény értelmezési tartományát.
| |
X
|
Df
|
Y
|
| a) |
(0 , p /2)
|
(0, p /2)
|
(0, 1)
|
| b) |
[-p /2, p
/2]
|
[0, p /2]
|
[0, 1]
|
| c) |
[0, p /2]
|
[0, p /2]
|
[0, 1]
|
| d) |
[-4, 2]
|
[-4, 2]
|
[-1, 1]
|
Megoldás
a) injektív
b) szürjektív
c) injektív
d) szürjektív
2. feladat
Legyen két függvény a g: A -->
B és a f: B --> C.
Létezzen az f-1, g-1, f ° g valamint a g-1
° f-1 függvény.
Igaz-e a következő állítás:
(f ° g)-1 = g-1 ° f-1
Megoldás
Minden (jelölése: ")
f ° g(x) és x Î Dg esetén
g-1 ° f-1(f ° g(x)) = g-1
° g(x) = x = (f ° g)-1 ° (f ° g) (x)
3. Az alábbi ábrán az f, g, h bijektív függvények
Adjuk meg a y : D --> B
bijektív függvényt.
Megoldás
y = f ° (g-1
° (h-1))
4. feladat
Egy A populáció minden egyedéhez rendeljük hozzá az összes tőle különböző,
vele rokonságban álló egyedet. Függvényt ad-e az olyan leképezés, ha az
értékkészlet
a) az A halmaz
b) az A összes részhalmazainak a halmaza
c) invertálható-e a függvény
Megoldás
a) nem
b) igen
c) nem
5. Határozzuk meg az y = 2Ö
x függvény inverzét.
Megoldás
a) Fejezzük ki az x-t, majd cseréljük fel az x és
y változókat
y2 = 4x
x = y2/4
A keresett inverz függvény a változók felcserélésével
adódik
y = x2/4
b) Az egyenletben előbb felcseréljük a változókat,
majd az implicit alakból kifejezzük az y-t.
x = 2Ö y
Emeljük mindkét oldalt négyzetre
x2 = 4y
Fejezzük ki a y-t (határozzuk meg az inverz függvény
explicit alakját)
y = x2/4
6. feladat
Határozzuk meg az
f: x --> Ö 2x (x Î
[0, 8 ))
függvény inverzét.
Megoldás
f-1: x --> x2/2
(x ł 0)