3.1. BevezetĂŠs
A valĂłszĂnĹąsĂŠgszĂĄmĂtĂĄs a matematikĂĄnak egy ĂśnĂĄllĂłan fejlĹdĹ ĂĄga ĂŠs erre a fogalomrendszerre ĂŠpĂźl a matematikai statisztika (biometria) is. A modern valĂłszĂnĹąsĂŠgszĂĄmĂtĂĄs kidolgozĂĄsa Kolmogorov orosz matematikus nevĂŠhez fĹązĹdik, aki ebben 1930-ban fektette le a valĂłszĂnĹąsĂŠgszĂĄmĂtĂĄs alapjait.
A valĂłszĂnĹąsĂŠgszĂĄmĂtĂĄs csak egy eszkĂśz a dĂśntĂŠseinkhez. Egy olyan eszkĂśz, mely szĂĄmszerĹąsĂti egy esemĂŠny bekĂśvetkezĂŠsĂŠnek az esĂŠlyĂŠt, ĂŠs ezen ĂŠrtĂŠk alapjĂĄn dĂśnteni lehet az esemĂŠnyre bekĂśvetkezĂŠsĂŠre vagy be nem kĂśvetkezĂŠsĂŠre vonatkozĂłan.
A valĂłszĂnĹąsĂŠgszĂĄmĂtĂĄs a kĂśvetkezĹ fogalmakra ĂŠpĂźl.
3.2. Kombinatorika
A kombinatĂłrika (kapcsolĂĄstan) az elemek csoportosĂtĂĄsĂĄval foglalkozik. ElsĹdleges feladata az elemek csoportjainak elĹĂĄllĂtĂĄsa, valamint a csoportok szĂĄmĂĄnak meghatĂĄrozĂĄsa. Az elemek egy elrendezĂŠsĂŠt komplexiĂłnak nevezzĂźk.
Az elemek elrendezĂŠsĂŠnek hĂĄrom legfontosabb fogalma a permutĂĄciĂł, a variĂĄciĂł ĂŠs a kombinĂĄciĂł tĂŠmakĂśrĂŠhez tartozik.
3.2.1. PermutĂĄciĂłk
Ha az elrendezendĹ (n db) elemek mind kĂźlĂśnbĂśzĹk, akkor ismĂŠtlĂŠs nĂŠlkĂźli, ha az elemek kĂśzĂśtt azonosak is vannak, akkor ismĂŠtlĂŠses permutĂĄciĂłrĂłl beszĂŠlhetĂźnk. MegegyezĂŠs szerint az azonos elemek felcserĂŠlĂŠsĂŠt nem tekintjĂźk kĂźlĂśnbĂśzĹ sorrendnek.
Az ismĂŠtlĂŠs nĂŠlkĂźli permutĂĄciĂłk szĂĄma:
Pn = 1ďˇ 2ďˇ 3ďˇ ... ďˇ n =n! vagy rĂśviden Pn = n!
JelĂślĂŠsben n! (ejtsd: n faktoriĂĄlis), ami az n elem faktoriĂĄlis ĂŠrtĂŠkĂŠt jelĂśli. MegĂĄllapodĂĄs szerint 0! = 1.
IsmĂŠtlĂŠses permutĂĄciĂłk szĂĄma:
=
ahol k1,k2,k3,...,kn az egymĂĄs kĂśzt megegyezĹ elemek szĂĄmĂĄt jelĂśli.
PĂŠldĂĄk
1. HĂĄny hatjegyĹą szĂĄm ĂĄllĂthatĂł elĹ a 0, 1, 4, 5, 6, 8 szĂĄmjegyekbĹl?
MegoldĂĄs
P6 - P5 = 6! - 5! = 720 - 120= 600
2. HĂĄny hatjegyĹą szĂĄmot kĂŠpezhetĂźnk az 1, 1, 3, 3, 3, 6 szĂĄmokbĂłl?
MegoldĂĄs
A szĂĄmok ismĂŠtlĂŠses permutĂĄciĂł adja a megoldĂĄst
3.2.2. VariĂĄciĂłk
Ha n szĂĄmĂş kĂźlĂśnbĂśzĹ elembĹl kivĂĄlasztunk k(k ďŁ n) szĂĄmĂş elemet Ăşgy, hogy figyelembe vesszĂźk ezek sorrendjĂŠt is, akkor n elem kâad osztĂĄlyĂş variĂĄciĂłjĂĄrĂłl beszĂŠlĂźnk. Az Ăśsszes variĂĄciĂł szĂĄmĂĄt a
kifejezĂŠs adja.
Ha az n elembĹl Ăşgy vĂĄlasztunk k elemet tartalmazĂł csoportokat, hogy a csoportban egy elem tĂśbbszĂśr is szerepelhet ĂŠs az elemek sorrendje is fontos, akkor az n elem kâad osztĂĄlyĂş ismĂŠtlĂŠses variĂĄciĂłjĂĄt hatĂĄrozzuk meg:
A felsĹ indexben az i betĹą jelĂśli az ismĂŠtlĂŠses variĂĄciĂłt.
PĂŠldĂĄk
1. NĂŠgy sebĂŠsz kettesĂŠvel, felvĂĄltva hasznĂĄlja a mĹątĹt Ăşgy, hogy az egyikĂźk a vezetĹ sebĂŠsz legyen. Adjuk meg a lehetsĂŠges beosztĂĄst.
MegoldĂĄs
Legyen A, B, C, D a nĂŠgy sebĂŠsz. A vezetĹ mindig az elsĹ helyre kerĂźl, amire 4 lehetĹsĂŠg adĂłdik. A âbeosztottâ sebĂŠszt a maradĂł 3 fĹ kĂśzĂźl vĂĄlaszthatjuk ki. Ăgy a lehetĹsĂŠgek szĂĄma
4*3 = 12
A pĂĄrok tehĂĄt:
AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC
2. A METRO aluljĂĄrĂłjĂĄban 4 ablaknĂĄl lehet bĂŠrletet, jegyet venni. Az egyszerre odaĂŠrkezĹ 8 fĹ, hĂĄnyfĂŠle mĂłdon kereshet ablakot magĂĄnak?
MegoldĂĄs
UgyanannĂĄl az ablaknĂĄl valĂł elhelyezkedĂŠs is megengedett, tehĂĄt 4 elembĹl (ablakbĂłl) kell 8-as csoportokat kĂŠpezni a sorrend beszĂĄmĂtĂĄsĂĄval. A csoportok szĂĄmĂĄt az ismĂŠtlĂŠses variĂĄciĂł adja:
3.2.3. KombinĂĄciĂłk
Ha az n szĂĄmĂş kĂźlĂśnbĂśzĹ elembĹl Ăşgy vĂĄlasztunk ki k (kďŁ n) szĂĄmĂşt minden lehetsĂŠges mĂłdon, hogy a kivĂĄlasztĂĄs sorĂĄn a csoportokon belĂźl az elemek sorrendje nem fontos, akkor n elem kâad osztĂĄlyĂş kombinĂĄciĂłjĂĄrĂłl beszĂŠlĂźnk. Az Ăśsszes lehetsĂŠges kivĂĄlasztĂĄs szĂĄma:
Az jelĂślĂŠst Ăşgy olvassuk, hogy "n alatt a k".
Ha a k elem kĂśzĂśtt egy elem tĂśbbszĂśr is elĹfordulhat, akkor n elem kâad osztĂĄlyĂş ismĂŠtlĂŠses kombinĂĄciĂłjĂĄrĂłl beszĂŠlĂźnk. Az Ăśsszes kivĂĄlasztĂĄsi lehetĹsĂŠgek szĂĄma:
PĂŠldĂĄk
1. Az egyetemi menza kĂŠt ĂŠtelkiadĂł ablakĂĄhoz 6 hallgatĂł ĂŠrkezik. HĂĄnyfĂŠle mĂłdon vĂĄlaszthatjĂĄk ki maguk kĂśzĂźl az elsĹ kĂŠt hallgatĂłt?
MegoldĂĄs
A kivĂĄlasztĂĄsnĂĄl a sorrend nem fontos. A csoportok szĂĄmĂĄt a 6 fĹ 2-od osztĂĄlyĂş kombinĂĄciĂłja adja
2. Egy ĂśttagĂş csalĂĄdnĂĄl a telefon 4-szer szĂłlalt meg TV nĂŠzĂŠs kĂśzben. Egy szemĂŠly 3-szor is odamehetett a kĂŠszĂźlĂŠkhez. A sorrendet nem figyelve, hĂĄnyfĂŠle mĂłdon vehettĂŠk fel a kagylĂłt?
MegoldĂĄs
A csoportok szĂĄma 5 elem (fĹ) 3-ad osztĂĄlyĂş ismĂŠtlĂŠses kombinĂĄciĂłja
3.3. BinomiĂĄlis egyĂźtthatĂłk tulajdonsĂĄgai
Az olyan kifejezĂŠseket amelyek kĂŠt tagbĂłl ĂĄllnak binomiĂĄlis kifejezĂŠseknek nevezzĂźk, pl. (a+b) vagy (aâb). VegyĂźk az (a + b) binom hatvĂĄnyait sorba egĂŠszen a 3. hatvĂĄnyig (n = 0,1,2,3):
(a + b)0 = 1
(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Ha az egyes tagok egyĂźtthatĂłit egymĂĄs alĂĄ Ărjuk, akkor az Ăşn. Pascal hĂĄromszĂśget kapjuk, ahol a kĂźlsĹ szĂĄrak mentĂŠn csak 1âes ĂĄll. A hĂĄromszĂśg belsejĂŠben ĂĄllĂł bĂĄrmely szĂĄm a kĂśzvetlen felette lĂŠvĹ ĂŠs attĂłl balra ĂĄllĂł kĂŠt szĂĄm Ăśsszege:
VezessĂźk be az jelĂślĂŠseket ĂŠs Ărjuk fel a NewtonâfĂŠle binomiĂĄlis tĂŠtelt:
ahol az egyĂźtthatĂłkat binomiĂĄlis egyĂźtthatĂłknak nevezzĂźk.
A tĂŠtelt a kifejtett binomiĂĄlis egyĂźtthatĂłkkal is felĂrhatjuk:
A tĂŠtelnek egy kĂśvetkezmĂŠnye az alĂĄbbi kifejezĂŠs:
(1+x)n ďť 1+nx (nx kĂśzel van a 0âhoz)
3.4. KĂsĂŠrlet ĂŠs esemĂŠny
KĂsĂŠrletnek lehet tekinteni egyrĂŠszt minden olyan tevĂŠkenysĂŠget, amit valamilyen cĂŠl ĂŠrdekĂŠben hajtunk vĂŠgre.
A kĂsĂŠrlet egyes lehetsĂŠges kimeneteleit elemi esemĂŠnyeknek nevezzĂźk. Az esemĂŠnyeket az ABC nyomtatott nagybetĹąivel jelĂśljĂźk. KĂŠt esemĂŠnyt azonosnak tekintĂźnk, ha egy kĂsĂŠrlet minden lehetsĂŠges kimenetelĂŠt figyelembe vĂŠve vagy mindkettĹ bekĂśvetkezik, vagy egyik sem. Ha kĂŠt esemĂŠny A ĂŠs B olyan kapcsolatban van egymĂĄssal, hogy A csak akkor kĂśvetkezhet be, ha B is bekĂśvetkezik, akkor azt mondjuk, az A esemĂŠny maga utĂĄn vonja a B esemĂŠnyt. Az ilyen esemĂŠnyeket a kĂśvetkezĹ mĂłdon jelĂśljĂźk:
A ď B
Egy kĂsĂŠrlet Ăśsszes elemi esemĂŠnyeinek a halmaza az esemĂŠnytĂŠr (ď ).
Az elemi esemĂŠnyekkel kapcsolatos hĂĄrom tovĂĄbbi fogalom:
a) lehetetlen esemĂŠny (ď ): sohasem kĂśvetkezhet be a kĂsĂŠrlet folyamĂĄn,
b) biztos esemĂŠny (ď ): mindig bekĂśvetkezik,
c) ellentett (komplementer) esemĂŠny () csak akkor kĂśvetkezhet be, ha az A esemĂŠny nem kĂśvetkezik be.
3.4.1. EsemĂŠnyalgebra
3.4.1.1. ĂsszeadĂĄs
Az A ĂŠs B esemĂŠnyek Ăśsszege az a C esemĂŠny, amely akkor kĂśvetkezik be, ha az A ĂŠs B esemĂŠnyek kĂśzĂźl legalĂĄbb az egyik bekĂśvetkezik:
A + B = C
3.4.1.2. KivonĂĄs
Az A ĂŠs B esemĂŠnyek kĂźlĂśnbsĂŠge az a AâB esemĂŠny, amely akkor kĂśvetkezik be, amikor az A esemĂŠny teljesĂźl, de a B esemĂŠny nem:
A â B = F = A
3.4.1.3. SzorzĂĄs
A G ĂŠs H esemĂŠnyek szorzatĂĄn azt az esemĂŠnyt (jelĂślĂŠsben AG) ĂŠrtjĂźk, amely csak akkor kĂśvetkezik be, ha a G ĂŠs H esemĂŠny is bekĂśvetkezik:
K = GH
Ha a B ĂŠs C esemĂŠnyre igaz, hogy szorzatuk a lehetetlen esemĂŠnyt adja akkor a kĂŠt esemĂŠny kizĂĄrja egymĂĄst:
BC = ď
Egy A esemĂŠnyre vonatkozĂłan az alĂĄbbi mĹąveletek vĂŠgezhetĹk el:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Az esemĂŠnyekkel vĂŠgezhetĹ mĹąveleteket ĂśsszefoglalĂłan BooleâalgebrĂĄnak hĂvjĂĄk. A gyakorlatban fĹleg a logikai ĂĄramkĂśrĂśkben fontosak az Ăşn. de MorganâazonossĂĄgok ( az esemĂŠnyek fĂślĂśtt a vonĂĄs a komplementer jele):
ĂŠs
Ezek a kifejezĂŠsek tĂśbb tagra is ĂŠrvĂŠnyesek ĂŠs kiterjeszthetĹk.
3.4.1.4. Ăsszetett esemĂŠny
Egy A esemĂŠny Ăśsszetett vagy felbonthatĂł esemĂŠny, ha legalĂĄbb kĂŠt, tĹle kĂźlĂśnbĂśzĹ esemĂŠny ĂśsszegekĂŠnt egyĂŠrtelmĹąen elĹĂĄllĂthatĂł.
K = G + H K ďš G ĂŠs K ďš H
Egy elemi esemĂŠny nem ĂĄllĂthatĂł elĹ ilyen alakban.
3.4.1.5. Teljes esemĂŠnyrendszer
Az A1, A2, A3, ..., An esemĂŠnyek teljes esemĂŠnyrendszert kĂŠpeznek ha igazak rĂĄjuk az alĂĄbbi feltĂŠtelek:
a) A1 + A2 + A3
+ ... + An = I
b) AiAj = O ha iďš
j (i = 1, 2, 3, ..., n ĂŠs j = 1, 2, 3, ..., n)
3.5. A valĂłszĂnĹąsĂŠg fogalma
A mindennapi ĂŠletben igen gyakran hasznĂĄljuk ezt a fogalmat, amikor egy esemĂŠny bekĂśvetkezĂŠsi esĂŠlyĂŠt prĂłbĂĄljuk szĂĄmszerĹąen meghatĂĄrozni. A lehetetlen esemĂŠny valĂłszĂnĹąsĂŠge 0, a biztos esemĂŠny valĂłszĂnĹąsĂŠge 1, ĂŠs a kĂŠt szĂŠlsĹ ĂŠrtĂŠk kĂśzĂśtt a valĂłszĂnĹąsĂŠgi skĂĄla egyĂŠb ĂŠrtĂŠkei szerepelnek. MinĂŠl nagyobb egy esemĂŠny bekĂśvetkezĂŠsĂŠnek az esĂŠlye, valĂłszĂnĹąsĂŠge annĂĄl inkĂĄbb kĂśzelĂti az 1 ĂŠrtĂŠket. A valĂłszĂnĹąsĂŠgi ĂŠrtĂŠkeket pâvel jelĂśljĂźk.
A valĂłszĂnĹąsĂŠg mĂĄsik ismert megadĂĄsi mĂłdja a szĂĄzalĂŠkos forma, amikor pl. p = 0.5 helyett 50 %âos esĂŠlyt mondunk egy esemĂŠny bekĂśvetkezĂŠsĂŠre. Ha magĂĄt az A esemĂŠnyt is jelĂśljĂźk a valĂłszĂnĹąsĂŠgĂŠvel egyĂźtt, akkor a P(A) jelĂślĂŠst hasznĂĄljuk.
3.5.1. KolmogorovâaxiĂłmĂĄk ĂŠs kĂśvetkezmĂŠnyei
Egy esemĂŠny valĂłszĂnĹąsĂŠgĂŠre az alĂĄbbiak ĂŠrvĂŠnyesek:
1) 0 ďŁ P(A) ďŁ 1
Egy esemĂŠny valĂłszĂnĹąsĂŠge csak 0 ĂŠs 1 kĂśzĂśtti szĂĄm lehet.
2.) P(0) = 0
A lehetetlen esemĂŠny valĂłszĂnĹąsĂŠge 0.
2.) P(I) = 1
A biztos esemĂŠny valĂłszĂnĹąsĂŠge 1.
3) Ha az A ĂŠs B egymĂĄst kizĂĄrĂł esemĂŠnyek (vagyis AB = 0) akkor az A ĂŠs B esemĂŠnyekre igaz:
P(A+B) = P(A) + P(B)
Az axiĂłmĂĄk kĂśvetkezmĂŠnyei:
a.) Ha az A esemĂŠny maga utĂĄn vonja a B esemĂŠnyt, akkor a valĂłszĂnĹąsĂŠgeikre teljesĂźl, hogy:
P(A) ďŁ P(B)
b) Az A esemĂŠnyre ĂŠs ellentĂŠtjĂŠre az âra igaz, hogy:
P(A)+ = 1
c) KĂŠt esemĂŠny fĂźggetlen egymĂĄstĂłl, ha szorzatukra igaz, hogy
P(Aďˇ B) = P(A)ďˇ P(B)
d) Ha az A1,A2,A3,...,An esemĂŠnyek pĂĄronkĂŠnt kizĂĄrjĂĄk egymĂĄst, akkor igaz az alĂĄbbi felbontĂĄs:
P(A1 + A2 + A3 + ... + An) = P(A1)+ P(A2)+ P(A3)+...+P(An)
Ennek az additivitĂĄsnak egy fontos esete az, ha a A1 + A2 + A3 + ... + An esemĂŠnyek teljes esemĂŠnyrendszert alkotnak, akkor:
P(A1)+ P(A2)+ P(A3)+...+P(An) = 1
3.5.2. Klasszikus valĂłszĂnĹąsĂŠgi modell
A valĂłszĂnĹąsĂŠget az egyes esemĂŠnyek relatĂv gyakorisĂĄga alapjĂĄn hatĂĄroztuk meg, amit Ăşgy szĂĄmĂtunk, hogy:
vagy
P(A) =
PĂŠlda
1. Egy dobozban 5 piros, 3 fehĂŠr, 2 kĂŠk tabletta van.
Mi a valĂłszĂnĹąsĂŠge a kĂŠk tabletta hĂşzĂĄsĂĄnak?
MegoldĂĄs
Az Ăśsszes lehetĹsĂŠgek szĂĄma n = 10. A kedvezĹ lehetĹsĂŠgek szĂĄma k = 2
P(A) =
3.5.3. FeltĂŠteles valĂłszĂnĹąsĂŠg
Legyen A ĂŠs B kĂŠt esemĂŠny ĂŠs P(B) ďš 0. Az A esemĂŠnynek a B esemĂŠny melletti feltĂŠteles valĂłszĂnĹąsĂŠge az A esemĂŠny bekĂśvetkezĂŠsĂŠnek a valĂłszĂnĹąsĂŠgĂŠt jelenti, ha a B esemĂŠny mint feltĂŠtele az A esemĂŠnynek bekĂśvetkezett:
P(A ďź B) =
KĂśvetkezmĂŠny:
P(AB) = P(A ďź B) ďˇ P(B)
Ezt az egyenlĹsĂŠget felhasznĂĄlva, az A1,A2,A3,...,An esemĂŠnyek szorzatĂĄra kapjuk, hogy:
P(A1 ďˇ A2 ďˇ A3 ďˇ ... ďˇ An) = P(An ďź A1A2A3...Anâ1) ďˇ P(Anâ1 ďź A1A2A3...Anâ2) ďˇ ... ďˇ P(A2 ďź A1) ďˇ P(A1)
PĂŠlda
Mennyi annak a valĂłszĂnĹąsĂŠge, hogy egy kĂŠtgyermekes csalĂĄdban mindkĂŠt gyermek fiĂş, ha
a) az idĹsebb gyermek fiĂş
b) legalĂĄbb az egyikĂźk fiĂş
(A fiĂş ĂŠs leĂĄny szĂźletĂŠsĂŠnek valĂłszĂnĹąsĂŠge azonos.)
MegoldĂĄs
Legyen A az az esemĂŠny, hogy az idĹsebb gyermek fiĂş, B a fiatalabb gyermek fiĂş. Ekkor a keresett feltĂŠteles valĂłszĂnĹąsĂŠgek
a) P(AB|A) =
b) P(AB|A+B)=
3.5.4. NagyszĂĄmok gyenge tĂśrvĂŠnye
A kĂsĂŠrlet sorĂĄn az A esemĂŠny bekĂśvetkezĂŠsi valĂłszĂnĹąsĂŠge legyen
P(A) = p
ĂŠs az ellentett esemĂŠny () valĂłszĂnĹąsĂŠge:
P()= 1âp= q
Legyen ďĽ >0 tetszĹleges valĂłs szĂĄm, ekkor a nagy szĂĄmok gyenge tĂśrvĂŠnye szerint:
A tĂśrvĂŠnyt BernoulliâfĂŠle tĂśrvĂŠnynek is nevezik. A tĂśrvĂŠny azt fejezi ki, hogy a kĂsĂŠrletszĂĄm (N) nĂśvelĂŠsĂŠvel egyre kisebb lesz annak valĂłszĂnĹąsĂŠge, hogy valamely esemĂŠny relatĂv gyakorisĂĄga ĂŠs valĂłszĂnĹąsĂŠge kĂśzĂśtt nagy a kĂźlĂśnbsĂŠg.
3.5.5. FĂźggetlensĂŠg
P(AB)=P(A)P(B)
3.5.6. Teljes valĂłszĂnĹąsĂŠg tĂŠtele
Ha a B1, B2, B3, ..., Bn esemĂŠnyek teljes esemĂŠnyrendszert alkotnak ĂŠs igaz tovĂĄbbĂĄ, hogy P(Bi) ďš 0 ,akkor tetszĹleges A esemĂŠny valĂłszĂnĹąsĂŠgĂŠre igaz az alĂĄbbi kifejezĂŠs:
P(A) =
vagyis az A esemĂŠny valĂłszĂnĹąsĂŠge a Bi esemĂŠnyek feltĂŠtele mellett meghatĂĄrozhatĂł.
PĂŠlda
Az anatĂłmia vizsgĂĄn az A csoport hallgatĂłinak 60% -a, a B csoport hallgatĂłinak 80%-a sikerrel szerepel. Az A csoport az ĂŠvfolyam 15%-ĂĄt teszi ki. Mi a valĂłszĂnĹąsĂŠge annak, hogy egy vĂŠletlenĂźl kivĂĄlasztott hallgatĂł sikeresen vizsgĂĄzik?
MegoldĂĄs
EsemĂŠnyek:
a) Legyen A a vizsgĂĄlt esemĂŠny.
b) Legyen C1 az az esemĂŠny, hogy a kivĂĄlasztott egyĂŠn A csoport beli. Ennek kivĂĄlasztĂĄsĂĄra az esĂŠly
P(C1) =
c) Legyen C2 az az esemĂŠny, hogy a B csoportbĂłl vĂĄlasztottunk. Erre az esĂŠly
P(C2) =
A sikeres vizsgĂĄzĂĄs valĂłszĂnĹąsĂŠge csoportonkĂŠnt
A csoport:
P(A|C1) = %
B csoport:
P(A|C2) = %
A teljes valĂłszĂnĹąsĂŠg tĂŠtele szerint
P(A) = P(A|C1)P(C1) + P(A|C2)P(C2) =
= 0.6*0.15 + 0.8*0.85 = 0.77
3.5.7. BayesâtĂŠtel
Ha a B1, B2, B3, ..., Bn esemĂŠnyek teljes esemĂŠnyrendszert alkotnak ĂŠs igaz tovĂĄbbĂĄ, hogy P(Bi) ďš 0 ĂŠs egy tetszĹleges A esemĂŠnyre P(A) ďš 0,akkor a Bi esemĂŠnyekre igaz az alĂĄbbi kifejezĂŠs:
TehĂĄt a Bi esemĂŠnyek valĂłszĂnĹąsĂŠge az A esemĂŠny bekĂśvetkezĂŠse esetĂŠn mint feltĂŠtel mellett a formula segĂtsĂŠgĂŠvel meghatĂĄrozhatĂł. A kifejezĂŠsben a P(Bi) valĂłszĂnĹąsĂŠget priori valĂłszĂnĹąsĂŠgeknek nevezzĂźk. A BayesâtĂŠtel fontos alkalmazĂĄsi terĂźlete a szakĂŠrtĹi rendszerek vilĂĄga. Pl. egy diagnosztikus folyamat leĂrĂĄsa ezen az Ăşton valĂłsulhat meg.
PĂŠlda
AtomrobbanĂĄs kĂśrnyezetĂŠben hĂĄromzĂłnĂĄt kĂźlĂśnbĂśztetnek meg. Ezekben a tĂşlĂŠlĹ lakossĂĄgnak 15, 40, 45 szĂĄzalĂŠka lakik. Az elsĹ zĂłnĂĄban minden tĂşlĂŠlĹ sugĂĄrsĂŠrĂźlĂŠst szenved, a mĂĄsodik illetve a harmadik zĂłnĂĄban 60 illetve 25 szĂĄzalĂŠk ez az arĂĄny.
Mi a valĂłszĂnĹąsĂŠge annak, hogy vĂŠletlenszerĹąen kivĂĄlasztva egy sugĂĄrsĂŠrĂźlĂŠst szenvedett egyĂŠnt, az az elsĹ zĂłnĂĄbĂłl valĂł?
MegoldĂĄs
EsemĂŠnyek
A1: elsĹ zĂłnĂĄbĂłl valĂł
A2: mĂĄsodik zĂłnĂĄbĂłl valĂł
A3: harmadik zĂłnĂĄbĂłl valĂł
B : az illetĹ sugĂĄrsĂŠrĂźlt
Bayes tĂŠtele szerint
P(A1|B) = =
0.299 ďť 0.3
3.6. ValĂłszĂnĹąsĂŠgi vĂĄltozĂłk jellemzĂŠse
A biometriai vizsgĂĄlatok sorĂĄn megfigyelt vagy mĂŠrt ĂŠrtĂŠkek vĂŠletlentĹl fĂźggĹ mennyisĂŠgek, amelyekhez szĂĄmĂŠrtĂŠkeket rendelĂźnk. Ezeket a vĂŠletlen ĂĄltal befolyĂĄsolt ĂŠrtĂŠkeket kĂśzĂśs nĂŠven valĂłszĂnĹąsĂŠgi vĂĄltozĂłknak (random variable) nevezzĂźk. A vĂĄltozĂł nĂŠv onnan szĂĄrmazik, hogy az ĂŠrtĂŠke megfigyelĂŠsi egyedenkĂŠnt mĂĄs ĂŠs mĂĄs ĂŠrtĂŠket vehet fel, vagyis az ĂŠrtĂŠk egyedenkĂŠnt vĂĄltozik. Ezeket az ĂŠrtĂŠkeket bizonyos valĂłszĂnĹąsĂŠgek mellett veszik fel a vĂĄltozĂłk, ezĂŠrt hasznĂĄlhatjuk a valĂłszĂnĹąsĂŠgi vĂĄltozĂł elnevezĂŠst.
A valĂłszĂnĹąsĂŠgi vĂĄltozĂłknak kĂŠt formĂĄjĂĄt ismerjĂźk: diszkrĂŠt ĂŠs folytonos valĂłszĂnĹąsĂŠgi vĂĄltozĂłkat.
3.6.1. DiszkrĂŠt valĂłszĂnĹąsĂŠgi vĂĄltozĂłk
Ha a ď¸ valĂłszĂnĹąsĂŠgi vĂĄltozĂł ĂŠrtĂŠkkĂŠszlete vĂŠges vagy megszĂĄmlĂĄlhatĂłan vĂŠgtelen xk szĂĄmsorozat, akkor magĂĄt a ď¸ ât diszkrĂŠt valĂłszĂnĹąsĂŠgi vĂĄltozĂłnak nevezzĂźk. Ha az Ak ď ď olyan rĂŠszhalmaz, amelynek elemi esemĂŠnyeihez a ď¸ hozzĂĄrendeli az xk szĂĄmsorozat ĂŠrtĂŠkeit, akkor az egyes esemĂŠnyek valĂłszĂnĹąsĂŠgeit (pk) a:
pk = P(Ak) = P(ď¸ = xk)
formulĂĄval lehet megadni. Az Ăgy meghatĂĄrozott valĂłszĂnĹąsĂŠgeket a ď¸ vĂĄltozĂł eloszlĂĄsĂĄnak nevezzĂźk. A kĂŠplet azt fejezi ki, hogy a ď¸ valĂłszĂnĹąsĂŠgi vĂĄltozĂł az egyes xk ĂŠrtĂŠkeket milyen valĂłszĂnĹąsĂŠggel veszi fel.
Egy ď¸ valĂłszĂnĹąsĂŠgi vĂĄltozĂł eloszlĂĄsfĂźggvĂŠnyĂŠt (distribution function) F(x) jelĂśljĂźk ĂŠs annak valĂłszĂnĹąsĂŠgĂŠt adja meg, hogy a ď¸ milyen valĂłszĂnĹąsĂŠggel vesz fel egy tetszĹleges x ĂŠrtĂŠknĂŠl kisebb ĂŠrtĂŠket. JelĂślĂŠsben:
F(x) = P(ď¸ < x)
MegjegyzendĹ, hogy a diszkrĂŠt valĂłszĂnĹąsĂŠgi vĂĄltozĂł F(x) eloszlĂĄsfĂźggvĂŠnye lĂŠpcsĹs alakĂş fĂźggvĂŠny.
Az F(x) eloszlĂĄsfĂźggvĂŠny tulajdonsĂĄgai az ĂĄbrĂĄrĂłl is leolvashatĂłk:
ďž balrĂłl folytonos,
ďž monoton nĂśvekedĹ,
ďž ĂŠrtĂŠke 0 ĂŠs l
kĂśzĂśtti.
3.6.2. Folytonos valĂłszĂnĹąsĂŠgi vĂĄltozĂłk
A valĂłszĂnĹąsĂŠgi vĂĄltozĂłk azon csoportjĂĄt, amelyek ĂŠrtĂŠkkĂŠszlete vĂŠges vagy nem megszĂĄmlĂĄlhatĂłan vĂŠgtelen, folytonos valĂłszĂnĹąsĂŠgi vĂĄltozĂłknak nevezzĂźk.
Az ilyen tĂpusĂş vĂĄltozĂł eloszlĂĄsfĂźggvĂŠnyĂŠnek meghatĂĄrozĂĄsa ĂŠppen a vĂŠgtelen ĂŠrtĂŠkkĂŠszlete miatt nehezebb mint diszkrĂŠt vĂĄltozĂł esetĂŠben. Az egyes tartomĂĄnyok (szakaszok) valĂłszĂnĹąsĂŠgĂŠnek megadĂĄsa ugyanis kĂśzvetlenĂźl nem lehetsĂŠges. EzĂŠrt kerĂźlt bevezetĂŠsre a sĹąrĹąsĂŠgfĂźggvĂŠny (f(x)) hasznĂĄlata, amelynek rĂŠvĂŠn minden szakasz valĂłszĂnĹąsĂŠge megadhatĂł a szakaszhoz tartozĂł fĂźggvĂŠnygĂśrbe alatti terĂźlet (integrĂĄljĂĄnak) nagysĂĄgĂĄval.
Az is mondhatĂł, hogy az eloszlĂĄsfĂźggvĂŠny (F(x)) a sĹąrĹąsĂŠgfĂźggvĂŠny f(x) integrĂĄlja. Folytonos valĂłszĂnĹąsĂŠgi vĂĄltozĂłk esetĂŠben mindig lĂŠtezik a ď¸ valĂłszĂnĹąsĂŠgi vĂĄltozĂłnak sĹąrĹąsĂŠgfĂźggvĂŠnye. A sĹąrĹąsĂŠgfĂźggvĂŠny tulajdonsĂĄga, hogy
ďž ĂŠrtĂŠke ďł 0 (hiszen a valĂłszĂnĹąsĂŠg nem lehet negatĂv ĂŠrtĂŠkĹą),
ďž a fĂźggvĂŠny gĂśrbe alatti terĂźlete = l (a valĂłszĂnĹąsĂŠg max. ĂŠrtĂŠke csak 1 lehet).
NĂŠmely esetben a sĹąrĹąsĂŠgfĂźggvĂŠny meghatĂĄrozĂĄsa nem egyszerĹą, mert ha ismerjĂźk is, nem kĂśnnyĹą elvĂŠgezni a fĂźggvĂŠny integrĂĄlĂĄsĂĄt. EzĂŠrt a biometriĂĄban leggyakrabban hasznĂĄlt folytonos fĂźggvĂŠnyekre mint pl.ďŁ 2 eloszlĂĄs, normĂĄlis eloszlĂĄs, F eloszlĂĄs, t eloszlĂĄs, stb. eloszlĂĄstĂĄblĂĄzatokat kĂŠszĂtettek ĂŠppen a gyakorlati munka megkĂśnnyĂtĂŠse miatt. EzekbĹl a tĂĄblĂĄzatokbĂłl a kĂvĂĄnt valĂłszĂnĹąsĂŠgeket egyszerĹą mĂłdon ki lehet olvasni.
3.6.3. ValĂłszĂnĹąsĂŠgi vĂĄltozĂłk vĂĄrhatĂł ĂŠrtĂŠke
Ha egy kĂsĂŠrletet sokszor megismĂŠtlĂźnk ĂŠs mindegyik kĂsĂŠrletet egymĂĄstĂłl fĂźggetlenĂźl hajtjuk vĂŠgre, akkor a valĂłszĂnĹąsĂŠgi vĂĄltozĂłnak az egyes kĂsĂŠrletek sorĂĄn felvett ĂŠrtĂŠkei egy jĂłl meghatĂĄrozott ĂŠrtĂŠk kĂśrĂźl ingadoznak. Ezt az ĂŠrtĂŠket vĂĄrhatĂł ĂŠrtĂŠknek nevezzĂźk. DiszkrĂŠt valĂłszĂnĹąsĂŠgi vĂĄltozĂł esetĂŠn a vĂĄrhatĂł ĂŠrtĂŠk vĂŠges k esetĂŠn:
Folytonos eloszlĂĄsĂş valĂłszĂnĹąsĂŠgi vĂĄltozĂł esetĂŠn az f(x) fĂźggvĂŠny âďĽ âtĹl +ďĽ âig integrĂĄlja adja a vĂĄrhatĂł ĂŠrtĂŠket. Ennek meghatĂĄrozĂĄsa az esetek tĂśbbsĂŠgĂŠben nem kĂśnnyĹą feladat.
3.6.4. ValĂłszĂnĹąsĂŠgi vĂĄltozĂłk szĂłrĂĄsa
Egy valĂłszĂnĹąsĂŠgi vĂĄltozĂł ĂŠrtĂŠkeinek a vĂĄrhatĂł ĂŠrtĂŠke kĂśrĂźli elhelyezkedĂŠsĂŠt, szĂłrĂłdĂĄsĂĄt nevezzĂźk a vĂĄltozĂł szĂłrĂĄsĂĄnak. JelĂślve D(ď¸ ). Ennek nĂŠgyzete a variancia ami a ď¸ vĂĄltozĂł ĂŠs vĂĄrhatĂł ĂŠrtĂŠke kĂźlĂśnbsĂŠgĂŠnek a nĂŠgyzete, illetve ennek vĂĄrhatĂł ĂŠrtĂŠke:
Var(ď¸ ) = D2(ď¸ ) = M[ (ď¸ âM(ď¸ ))2] = M(ď¸ )â[ M(ď¸ )2]
A szĂłrĂĄs nyilvĂĄn csak akkor van ĂŠrtelmezve, ha a vĂĄrhatĂł ĂŠrtĂŠk is lĂŠtezik.
DiszkrĂŠt valĂłszĂnĹąsĂŠgi vĂĄltozĂł esetĂŠn a szĂłrĂĄsnĂŠgyzet (variancia):
Var(ď¸ ) = D2(ď¸ ) =
Folytonos valĂłszĂnĹąsĂŠgi vĂĄltozĂł esetĂŠn a Var(ď¸ ) kĂŠtszeri integrĂĄlĂĄssal hatĂĄrozhatĂł meg.
3.6.5. Nevezetes diszkrĂŠt eloszlĂĄsok
3.6.5.1. BinomiĂĄlis eloszlĂĄs
VĂŠgezzĂźnk el egy kĂsĂŠrletet nâszer egymĂĄstĂłl fĂźggetlenĂźl. A kĂsĂŠrlet sorĂĄn egy A esemĂŠny bekĂśvetkezĂŠsĂŠnek valĂłszĂnĹąsĂŠge legye P(A) = p ĂŠs az ellentett esemĂŠny valĂłszĂnĹąsĂŠge pedig = q = 1âp. A pârĹl feltesszĂźk, hogy konstans a kĂsĂŠrlet folyamĂĄn. A ď¸ valĂłszĂnĹąsĂŠgi vĂĄltozĂł az A esemĂŠny bekĂśvetkezĂŠseinek a szĂĄmĂĄt jelenti. Ekkor annak valĂłszĂnĹąsĂŠge, hogy a kĂsĂŠrlet sorĂĄn az A esemĂŠny kâszor kĂśvetkezik be a kĂśvetkezĹ alakban adhatĂł meg:
pk = P(ď¸ = k) = (k = 0, 1, 2, ..., n)
A ď¸ valĂłszĂnĹąsĂŠgi vĂĄltozĂł eloszlĂĄsĂĄt binomiĂĄlis eloszlĂĄsnak nevezzĂźk, amelynek vĂĄrhatĂł ĂŠrtĂŠke:
M(ď¸ ) = nďˇ p
ĂŠs szĂłrĂĄsa:
D(ď¸ ) =
formĂĄban hatĂĄrozhatĂł meg.
PĂŠlda
1. Egy bizonyos betegsĂŠg a hagyomĂĄnyos terĂĄpiĂĄval az esetek egynegyed rĂŠszĂŠben gyĂłgyĂthatĂł. Ăj kezelĂŠst akarnak bevezetni, melyet elĹzĹleg 10 betegen kiprĂłbĂĄlnak. Ha legalĂĄbb heten meggyĂłgyulnak, akkor az Ăşj kezelĂŠst bevezetik. Ha legfeljebb hĂĄrman gyĂłgyulnak meg, akkor az Ăşj eljĂĄrĂĄst elvetik. Ha 4, 5, vagy 6 beteg gyĂłgyul meg, akkor az eljĂĄrĂĄst tovĂĄbb vizsgĂĄljĂĄk.
A kezelĂŠs hatĂĄsa a rĂŠgi terĂĄpiĂĄs eljĂĄrĂĄssal azonos. HatĂĄrozzuk meg a hĂĄrom esethez tartozĂł valĂłszĂnĹąsĂŠgeket.
MegoldĂĄs
JelĂśljĂźk a vizsgĂĄlt esemĂŠnyeket A, B, C betĹąkkel. Az esemĂŠnyek binomiĂĄlis eloszlĂĄst kĂśvetnek, Ăgy
P(A)=
P(B)=
P(C)=1-(P(A)+P(B)=1-(0.0035 + 0.7759) = 0.2206
3.6.5.2. PoissonâeloszlĂĄs
A
pk = P(ď¸ = k) = (k = 0, 1, 2, ...)
eloszlĂĄst a ď¸ valĂłszĂnĹąsĂŠgi vĂĄltozĂł PoissonâeloszlĂĄsĂĄnak nevezzĂźk, ahol ďŹ >0 egy tetszĹleges valĂłs szĂĄm.
Poisson eloszlĂĄst kĂśvetnek pl. a kalĂĄcsban egy adott terĂźletre esĹ mazsolĂĄk szĂĄma, a lehullĂł hĂłpelyhek szĂĄma egy adott tartomĂĄnyon, baktĂŠriumok, sejtek szĂĄma.egy adott tĂŠfogatban, balesetek szĂĄma egy idĹintervallumban, stb.
A PoissonâeloszlĂĄs ĂŠs a binomiĂĄlis eloszlĂĄs kĂśzĂśtt szoros a kapcsolat. Ha a binomiĂĄlis eloszlĂĄsban n nagy ĂŠs a vizsgĂĄlt esemĂŠny valĂłszĂnĹąsĂŠge a p ĂŠrtĂŠke 0âhoz kĂśzeli ĂŠrtĂŠk (az nďˇ p szorzat ĂŠrtĂŠke < 5), ilyenkor a ďŹ = nďˇ p vĂĄlasztĂĄssal a binomiĂĄlis eloszlĂĄs jĂłl kĂśzelĂthetĹ a PoissonâeloszlĂĄssal:
A PoissonâeloszlĂĄs vĂĄrhatĂł ĂŠrtĂŠke:
M(ď¸ ) = ďŹ
szĂłrĂĄsa:
D(ď¸ ) =
PĂŠlda
Egy vizsgĂĄlat kimutatta, hogy egy adott tĂłban a baktĂŠriumok 2 baktĂŠrium/cm3 sĹąrĹąsĂŠggel fordulnak elĹ, ĂŠs Poisson-tĂpusĂş eloszlĂĄst kĂśvetnek. Mi a valĂłszĂnĹąsĂŠge, hogy egy 2 cm3 nagysĂĄgĂş minta
a) baktĂŠriummentes
b) legalĂĄbb kĂŠt baktĂŠriumot tartalmaz?
MegoldĂĄs
A mintĂĄban 4 baktĂŠrium van, Ăgy ďŹ =4 paramĂŠterĹą Poisson-eloszlĂĄssal van dolgunk.
a) P(k=0)=e-4=0.0183
b) 1-(P(k=0)+P(k=1))=1-5e-4=0.9080
3.7. Nevezetes folytonos eloszlĂĄsok
3.7.1. Egyenletes eloszlĂĄs
Az egyenletes eloszlĂĄs sĹąrĹąsĂŠgfĂźggvĂŠnye ĂŠs grafikonja:
f(x) =
EloszlĂĄsfĂźggvĂŠnye:
F(x) = P(ď¸ <x) =
A vĂĄrhatĂł ĂŠrtĂŠk ĂŠs szĂłrĂĄs:
M(ď¸ ) = ĂŠs D(ď¸ ) =
3.7.2. ExponenciĂĄlis eloszlĂĄs
Az exponenciĂĄlis eloszlĂĄs sĹąrĹąsĂŠgfĂźggvĂŠnye:
f(x) =
ahol x>0 tetszĹleges pozitĂv szĂĄm.
Az exponenciĂĄlis eloszlĂĄsfĂźggvĂŠny alakja
F(x) = P(ď¸ <x) =
A vĂĄrhatĂł ĂŠrtĂŠk ĂŠs szĂłrĂĄs:
M(ď¸ ) = ĂŠs D(ď¸ ) =
ExponenciĂĄlis eloszlĂĄst kĂśvetnek pl. a radioaktĂv bomlĂĄsi folyamatok, az alkatrĂŠszek ĂŠlettartamai stb.
Az exponenciĂĄlis eloszlĂĄs ĂĄltalĂĄnosĂtott alakja a WeibullâeloszlĂĄs, amelynek sĹąrĹąsĂŠgfĂźggvĂŠnye (c > 0 ĂŠs ďĄ > 0 ĂĄllandĂłk):
f(x) =
EloszlĂĄsfĂźggvĂŠnye:
F(x) =
A WeibullâeloszlĂĄs egyik sajĂĄtsĂĄgos felhasznĂĄlĂĄsi terĂźlete a gyĂłgyszerkinetikai vizsgĂĄlatok.
3.7.3. NormĂĄlis eloszlĂĄs
A statisztikai vizsgĂĄlatok szempontjĂĄbĂłl az egyik legfontosabb eloszlĂĄs a normĂĄlis eloszlĂĄs. KĂśzponti helyet foglal el a vizsgĂĄlatok kĂśzĂśtt mivel szĂĄmos statisztikai eljĂĄrĂĄs ezen az eloszlĂĄstĂpuson alapszik. Maga az elnevezĂŠs is arra utal, hogy a mĂŠrt adatainktĂłl az vĂĄrjuk, hogy ilyen mĂłdon viselkedjenek, mert az a termĂŠszetes, a normĂĄlis viselkedĂŠse az adatoknak. Az eloszlĂĄs tĂśbbfĂŠle elnevezĂŠssel is hasznĂĄlatos: GaussâeloszlĂĄs, harangâgĂśrbe elnevezĂŠsek szinonimĂĄi a normĂĄlis jelzĹnek.
Egy tetszĹleges ď¸ valĂłszĂnĹąsĂŠgi vĂĄltozĂł normĂĄlis eloszlĂĄsĂş, ha sĹąrĹąsĂŠgfĂźggvĂŠnyĂŠre igaz az alĂĄbbi kifejezĂŠs:
f(x) =
A kifejezĂŠsben a ď ĂŠs ďł az eloszlĂĄs kĂŠt paramĂŠtere, ahol ď tetszĹleges valĂłs szĂĄm, a ďł tetszĹleges pozitĂv szĂĄm. Ez a kĂŠt paramĂŠter hatĂĄrozza meg, hogy a vĂŠgtelen sok eloszlĂĄst tartalmazĂł Ăşn. normĂĄlis eloszlĂĄscsalĂĄdnak ĂŠppen melyik tagjĂĄt vizsgĂĄljuk.
Az ilyen tĂpusĂş eloszlĂĄsok szimmetrikus, egycsĂşcsĂş eloszlĂĄsok, amelynek szĂĄrai a âďĽ ĂŠs +ďĽ âhez tartoznak. A fĂźggvĂŠnyek az Xâtengelyt csak aszimptĂłtikusan kĂśzelĂtik, de azt soha nem ĂŠrintik. A gĂśrbe maximum helye az Xâtengelyen a ď ĂŠrtĂŠknĂŠl van. A ďł paramĂŠter a gĂśrbe szĂŠlessĂŠgĂŠt, vagyis az adatok elhelyezkedĂŠsĂŠt hatĂĄrozza meg.
Az eloszlĂĄs vĂĄrhatĂł ĂŠrtĂŠke ĂŠs szĂłrĂĄsa:
M(ď¸ ) = ď ĂŠs D(ď¸ ) = ďł
A harangâgĂśrbe csĂşcsa az eloszlĂĄs vĂĄrhatĂł ĂŠrtĂŠkĂŠnĂŠl a ď ĂŠrtĂŠknĂŠl talĂĄlhatĂł.
BĂĄrmely normĂĄlis eloszlĂĄsra igaz, hogy az adatok 68 %âa a vĂĄrhatĂł ĂŠrtĂŠktĹl a ď âďł ĂŠs ď +ďł tĂĄvolsĂĄgon belĂźl helyezkednek el, vagyis az adatok a vĂĄrhatĂł ĂŠrtĂŠk kĂśrĂźl tĂśmĂśrĂźlnek. TovĂĄbbi jellegzetessĂŠge az eloszlĂĄsnak, hogy az adatok 95 %âa a ď â2ďł ĂŠs ď +2ďł ĂŠrtĂŠkek kĂśzt van ĂŠs az adatok 5 %âa helyezkedik el ezen tĂĄvolsĂĄgokon kĂvĂźl. Ez a rĂŠsz az Ăşn. farok rĂŠsz (tail) a szignifikancia vizsgĂĄlatokban kap igen fontos szerepet. Ebbe a rĂŠszbe csak kis valĂłszĂnĹąsĂŠggel esnek adatok, s ezt a tulajdonsĂĄgot hasznĂĄljuk fel dĂśntĂŠseinkhez.
Mivel a normĂĄlis eloszlĂĄsok ĂĄtszĂĄmolhatĂłk az egyikbĹl a mĂĄsikba, minden eloszlĂĄs azonos alakra hozhatĂł az Ăşn. standardizĂĄlĂĄsi eljĂĄrĂĄssal. Az Ăgy kapott normĂĄlis eloszlĂĄst standard normĂĄlis eloszlĂĄsnak nevezzĂźk, ĂŠs igaz rĂĄ, hogy az eloszlĂĄs vĂĄrhatĂł ĂŠrtĂŠke a ď = 0, szĂłrĂĄsa ďł = 1. A standardizĂĄlĂĄsi formula, amellyel bĂĄrmelyik ď¸ normĂĄlis eloszlĂĄsĂş vĂĄltozĂłt egy Ăşj z vĂĄltozĂłba standardizĂĄlhatjuk:
zi =
A kifejezĂŠs azt jelenti, hogy minden mĂŠrt xi ĂŠrtĂŠkbĹl levonjuk az eredeti normĂĄlis eloszlĂĄs vĂĄrhatĂł ĂŠrtĂŠkĂŠt ĂŠs a kĂźlĂśnbsĂŠget osztjuk a szĂłrĂĄssal. Az Ăgy kapott zi ĂŠrtĂŠkek eloszlĂĄsa standard normĂĄlis eloszlĂĄsĂş lesz. Az eljĂĄrĂĄs eredmĂŠnyekĂŠppen az eloszlĂĄs szimmetriaâtengelye az Yâtengely lesz ĂŠs a szĂłrĂĄsok egysĂŠgnyi tĂĄvolsĂĄgban helyezkednek el az origĂł kĂśrĂźl. A standard normĂĄlis eloszlĂĄs sĹąrĹąsĂŠgfĂźggvĂŠnye:
ďŞ (x) =
A standard normĂĄlis eloszlĂĄs sĹąrĹąsĂŠgfĂźggvĂŠnyĂŠre a ďŞ (x), az eloszlĂĄs fĂźggvĂŠnyĂŠre a ďŚ (x) jelĂślĂŠseket hasznĂĄljuk.
A fĂźggvĂŠny tulajdonsĂĄgai az alĂĄbbiak szerint foglalhatĂł Ăśssze:
a) szimmetrikus fĂźggvĂŠny az yâtengelyre (az y tengely a szimmetria tengelye)
ďŞ (x) = ďŞ (âx) ĂŠs ďŚ (âx) = 1âďŚ (x)
b) a fĂźggvĂŠny legmagasabb pontjĂĄnak koordinĂĄtĂĄi:
(0, ) ĂŠrtĂŠkek
c) a fĂźggvĂŠny gĂśrbe alatti terĂźlete = 1, ami azt jelenti, hogy egy standard normĂĄl eloszlĂĄsĂş valĂłszĂnĹąsĂŠgi vĂĄltozĂł ĂŠrtĂŠkei 1 valĂłszĂnĹąsĂŠggel a (âďĽ , +ďĽ ) tartomĂĄnybĂłl szĂĄrmaznak
f) az a) ĂŠs e) pontok ĂŠrtelmĂŠben az y tengelytĹl jobbra ĂŠs balra elsĹ terĂźletek nagysĂĄga:
g) egy tetszĹleges (ď ,ďł ) paramĂŠterĹą normĂĄlis eloszlĂĄsĂş valĂłszĂnĹąsĂŠgi vĂĄltozĂł sĹąrĹąsĂŠg ĂŠs eloszlĂĄsfĂźggvĂŠnye kifejezhetĹ a standard normĂĄlis eloszlĂĄs hasonlĂł fĂźggvĂŠnyeivel:
sĹąrĹąsĂŠgfĂźggvĂŠny: f(x) =
eloszlĂĄsfĂźggvĂŠny: F(x) =
h) a binomiĂĄlis eloszlĂĄs tagjait jĂł megkĂśzelĂtĂŠssel meghatĂĄrozhatjuk a standard normĂĄlis eloszlĂĄs segĂtsĂŠgĂŠvel, ha az n nagy ĂŠs a p, q ĂŠrtĂŠkek nincsenek szorosan a 0 kĂśzelĂŠben, akkor:
a kĂśzelĂtĂŠs akkor jĂł, ha az nďˇ p>5 ĂŠs nďˇ q>5 egyenlĹtlensĂŠg teljesĂźl.
HasonlĂł kapcsolat van a PoissonâeloszlĂĄs ĂŠs standard normĂĄlis eloszlĂĄs kĂśzĂśtt is, ha a ďŹ elĂŠg nagy, akkor a PoissonâeloszlĂĄs jĂłl kĂśzelĂthetĹ a standard normĂĄlis eloszlĂĄssal:
PĂŠlda. TegyĂźk fel, hogy a sorozĂĄson megjelenĹ fĂŠrfiak kĂśrĂŠben a systoles vĂŠrnyomĂĄsĂŠrtĂŠk vĂĄrhatĂł ĂŠrtĂŠke 130 Hgmm ĂŠs a szĂłrĂĄsa 12 Hgmm. VĂĄrhatĂłan a fĂŠrfiaknak hĂĄny %âa esik a 140â150 Hgmm tartomĂĄnyba, ha a vĂŠrnyomĂĄs ĂŠrtĂŠkek eloszlĂĄsa normĂĄlis eloszlĂĄst kĂśvet?
MegoldĂĄs. A feladat ĂŠrtelmĂŠben a ď = 130 ĂŠs a ďł = 12. TranszformĂĄljuk ĂĄt az ĂŠrtĂŠkeket z eloszlĂĄsba, hogy a standard normĂĄlis eloszlĂĄs tĂĄblĂĄzatĂĄt tudjuk hasznĂĄlni.
z1 =
z2 =
A keresett arĂĄnyt a z1 ĂŠs z2 ĂŠrtĂŠkek kĂśzĂśtti terĂźlet nagysĂĄga adja meg:
A terĂźlet megĂĄllapĂtĂĄsĂĄhoz hasznĂĄljuk az I. tĂĄblĂĄzatot:
T = z1.67 â z0.83 = 0.4554 â 0.2881 = 0.1673
vagyis
P(140 ďŁ x ďŁ 150) = 0.1673
TehĂĄt vĂĄrhatĂłan a fĂŠrfiaknak 16.7 %âa esik az enyhe hipertĂłniĂĄs kategĂłriĂĄba.
3.8. CentrĂĄlis hatĂĄreloszlĂĄs tĂŠtele
A statisztikĂĄban oly fontos normĂĄlis eloszlĂĄst a valĂłszĂnĹąsĂŠg szĂĄmĂtĂĄs egyik alapvetĹ tĂŠtele a kĂśzponti (centrĂĄlis) hatĂĄreloszlĂĄs tĂŠtele biztosĂtja. A tĂŠtel szerint â szabad megfogalmazĂĄsban â egymĂĄstĂłl fĂźggetlen sok aprĂł hatĂĄs egyĂźttes eredmĂŠnyekĂŠnt keletkezett ĂŠrtĂŠkek eloszlĂĄsa normĂĄlis eloszlĂĄst kĂśvet fĂźggetlenĂźl az ĂśsszetevĹk eloszlĂĄsĂĄtĂłl.
KĂźlĂśnĂśsen fontos a tĂŠtel alkalmazhatĂłsĂĄga az ĂŠlettani folyamatok esetĂŠn, hiszen itt egyâegy jelensĂŠg szĂĄmos fĂźggetlen hatĂĄs eredĹjekĂŠnt alakul ki.
3.9. SzabadsĂĄgfok fogalma
A szabadsĂĄgfok fogalmĂĄt Sir R.A. Fisher vezette be. Egy statisztika szabadsĂĄgfokĂĄt â amelyet dfâel (degrees of freedom) jelĂślĂźnk a tovĂĄbbiakban â, Ăşgy definiĂĄljuk, hogy az N mintaszĂĄmbĂłl levonjuk az adott statisztika kiszĂĄmĂtĂĄshoz szĂźksĂŠges, az adatokbĂłl mĂĄr meghatĂĄrozott paramĂŠterek k szĂĄmĂĄt.
df = N â k
A pĂŠlda kedvĂŠĂŠrt az alĂĄbb bemutatott statisztikĂĄk a kĂŠsĹbbi fejezetekben rĂŠszletesen tĂĄrgyalĂĄsra kerĂźlnek.
PĂŠlda. Az n szĂĄmĂş minta adatbĂłl szĂĄmĂtott szĂĄmtani ĂĄtlag szabadsĂĄgfoka n, mivel az ĂĄtlag kiszĂĄmĂtĂĄsĂĄhoz csak a minta adatokat hasznĂĄljuk fel, a kĂŠpletben nincs olyan paramĂŠter, amit az adatokbĂłl szĂĄmolnĂĄnk ki:
A szĂĄmlĂĄlĂłban csak a minta adatai, a nevezĹben a minta szĂĄma szerepel.