Összetett kísérleti tervek és kiértékelésük
Összetett variancia analízis modellek
Két szempontú ANOVA

Kétszempontú osztályozás Modell Elrendezése(terv) Hipotézis ANOVAtábla Példa 2 szempontúANOVA-ra   Elõzõ Következõ

A korábban tárgyalt egy szempontú csoportosítás esetében a négyzetes összeg felbontásával kaptuk meg a kezeléseknek (csoportok) és a véletlennek tulajdonítható variancia komponenseket.

Az egyszempontú modell: 
azaz adat összetevõi = (nagy átlag) + (kezelési átlag) + szórás (reziduális, véletlen tényezõ) az  kezelések esetében

Több szempontú analízisek

Az összetettebb esetekben megkülönböztetendõk:  (a) több szempontú és (b) több változójú esetek! A több szempont szerint osztályozott kezelések esetében a mért változó egy (de lehet több is), a több változós modellek esetében a kezelés gyakran egy szempont szerinti (de lehet több szempont is a kísérletben),  de a mért (függõ) változók száma több, mint egy. Léteznek speciális eljárások a többszempontos elemzésekre, de a legtöbb bonyolultabb analízist ma már a több változós ANOVA-val, a MANOVA (multivariate analysis of variance), vagy másképen az általános lineáris modell (general linear model) program modullal végzik, mert ez a legáltalánosabb megközelítése az ANOVA alkalmazásoknak.

A statisztikai programcsomagok sokféle számolást elvégeznek, de a kimenet attól függ, milyen utasításokkal, paraméterekkel, és bemenettel indítjuk el a programot. Azért a kimenetet mindig gondosan meg kell nézzük: különösen a kimeneti file-ban pontosan megvan, milyen feladatot is végzett el a program. Ez különösen fontos a többszempontos ANOVA modulok esetében.

Fix modellek

A (nem hierarchikus) többszempontú osztályozás ún. fix modellje esetén a csoportosítás szisztémás, a kutatótól függ, és az egyes szinten belül a kezelés minden azonosan jelölt cellában ugyanazt a tényezõt jelenti, nem pedig egy véletlentõl függõ faktort. Ennek ellentétje azon analízis, ahol véletlentõl függõ "kezelések" hatásait vizsgáljuk; ez a kísérleti típus a hierarchikus ("nested") ANOVA modelljével irható le.

Kétszempontú osztályozás

Célja

Két kezelés fajta (jelöljük A, B -vel) és kombinációik összehasonlítása.

Elrendezése (terv)

A legegyszerûbb a 2x2-es terv, az általános az ixj-s terv. Négyzetes elrendezésként irhatjuk le legjobban.

Példa: 3*4-es tábla A1, A2, A3, B1, B2, B3, B4 -gyel jelölt kezelésekkel, nij elemszámokkal az egyes cellákben.
 

A kezelések kiosztása:
szempontok B1 B2 B3 B4
A1 A1B1  (n11) A1B2  (n12) A1B3  (n13) A1B4  (n14)
A2 A2B1  (n21) A2B2  (n22) A2B3  (n23) A2B4  (n24)
A3 A3B1  (n31) A3B2  (n32) A3B3  (n33) A3B4  (n34)

A variancia felbontásának (particionálásának) vázlatos ábrázolása:
 

Az összes szórás 4 összetevõje
A szempont
B szempont
A*B interakció
Véletlen szórás
A modell

Egy cella értéke=M+Ai+B j+Ai*Bj+ , vagy más jelölésekkel:

Az xij megfigyelés additív összetevõi: (itt az Ai , Bj a kezeléseknek az additív hatásait jelölik):

xij=Nagyátlag+Ai +Bj+(AxB)ij + 
(ahol (AxB)ij az Ai és Bj kezelések interakciója),  pedig normális eloszlású, 0 várható értékû valószínûségi változó.

Feltételezések

  1. A minták normális eloszlásúak
  2. a minták szórásai homogének
  3. A megfigyelések egymástól függetlenek.
Hipotézis(ek)

A nullhipotézis   minden i -re és j-re
Az alternativ hipotézis   legalább egy i-re vagy j-re
Itt a két szempontú kezelést egymástól függetlenül valósítjuk meg. Minden lehetséges kombinációt alkalmazunk. (Megjegyzés: ha egy 2x2 -es táblából egy cella hiányzik, akkor egy egyszempontú ANOVA-val van dolgunk)

Két szempontos ANOVA tábla

A statisztikai számolás és értékelés összefoglalása hagyományosan az ANOVA táblában történik. Ez az elemzés egyes lépéseit hagyományos, áttekinthetõ formában mutatja be.
i darab kezelés az A szempont szerint, (Ai úgy mondjuk i-edik szintje A-nak, az i-edik kezelés).
j darab kezelés a B szempont szerint, kezelésenként (cellánként ugyanannyi eset) n megfigyelés esete.
 

Két szempontos ANOVA tábla
Forrás sz.fok(df) Négyzetes összeg variancia F P
A kezelés(ek) i-1 QA    (SSA) s2A  (MSA) s2A/s2b
0,... 
B kezelés(ek) j-1 QB   (SSB) s2B  (MSB) s2B/s2b 0,...
AxB interakció (i-1)(j-1) QAB  (SSAB) s2AB   (MSAB) s2AB/s2b  0,...
Mintákon belül ij(n-1) Qb  (SSwithin) s2b      (MSwithin)    
Összes ijn-1 Qö  (SStotal) s2ö    
Négyzetes összeg = Sum of Squares (SS)
Variancia = Mean Squares (MS), másképpen (MSwithin ), (MSerror), vagy másképpen (SSwithin),(SSerror)

Példa 2 szempontú ANOVA-ra  | A lap eleje